Question

（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）; （2）; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.

【解析】

试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝a，MO=, tan∠PMO＝,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故为直角三角形，OE＝PD＝＝a ∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.

试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分）

∵PO⊥面ABCD，

∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝

设AB＝a，AO＝a，

∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，

tan∠PMO＝＝．

∴∠PMO＝60°． （4分）

（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分）

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．

又OE平面PBD， ∴ AO⊥OE．

∵OE＝PD＝＝a，

∴tan∠AEO＝＝． （8分）

（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN

∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）

又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．

∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）

F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）

考点：立体几何的综合问题