Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，焦距为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为点，与圆的另一个交点为点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直线不存在．见解析

【解析】

（1）据题意有，，则通过计算可得椭圆的标准方程；

（2）可先假设直线存在，可设直线的斜率为，则直线．根据及圆的性质可知垂直平分．再根据点到直线的距离公式可得的关于的表达式，再解可得的关于的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去整理可得一元二次方程，根据韦达定理有，．根据弦长公式可得的关于的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果值存在则直线存在；如果没有值则直线不存在．

（1）由题意，可知，．则，．

椭圆的标准方程为．

（2）由题意，假设存在直线使得，可设直线的斜率为．

则直线．

，即点为线段中点，

根据圆的性质，可知，且平分．

根据题意画图如下：

则．

在中，．

联立直线与椭圆方程，可得：

，

消去，整理得．

则△．

，．

．

，整理，得．很明显矛盾，

故直线不存在．