Question

已知等比数列的前项和为，正数数列的首项为，
且满足：．记数列前项和为．
(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求数列的通项公式；
(Ⅲ)是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)  (Ⅲ) 存在，。

熟练掌握并灵活运用等差等比数列的通项公式以及求和公式是解决此题的关键．
（Ⅰ）根据Sn求出a₁，a₂，a₃，根据{a_n}为等比数列，确定出c的值．
（Ⅱ）根据b_n+1=

bn

1+2bn

 (n∈N*)，得到bn与bn+1的递推关系，根据特殊的数列求通项．
（Ⅲ）先求出Tn，假设满足T₁，T_m，T_n成等比数列，得到n与m的关系式，再根据1＜m＜n，求出m，n的范围，根据m，n是正整数，求出m，n的值．
解：(Ⅰ)，，………（3分）
因为为等比数列所以，得 ………………………（4分）
经检验此时为等比数列.          ………………（5分）
(Ⅱ)∵   ∴
数列为等差数列  …………………………………………（7分）
又，所以
所以                          …………（10分）
(Ⅲ) ……（12分）
假设存在正整数，且，使得成等比数列
则，所以
由得且
即，所以
因为为正整数，所以，此时
所以满足题意的正整数存在，．…………（15分）