Question

3．已知函数y=-x²+ax-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$．
（1）当0≤x≤1时，函数随着x的增大而增大，求实数a的取值范围；
（2）当0≤x≤1时，函数的最大值是2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）当0≤x≤1时，函数随着x的增大而增大，则为函数的增区间，只需使导函数大于等于零恒成立，求导，判断得a范围
（2）利用二次函数性质，对对称轴分别进行讨论，求区间内最大值，求出a的值．

解答 解：（1）y′=-2x+a≥0 x∈[0，1]
∴-2+a≥0
a≥2
（2）令f（x）=-x²+ax-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$
①当 $\frac{a}{2}$≤0，即a≤0时，y_max=f（0）=-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$=2，得a=-6
②当0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2时，y_max=f（ $\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$=2，得a=-2，3不符合，舍去
③当 $\frac{a}{2}$≥1，即a≥2时，y_max=f（1）=$\frac{3}{4}$a-$\frac{1}{2}$=2，解得a=$\frac{10}{3}$
故实数a=-6或$\frac{10}{3}$．

点评 考察了导数的应用，和二次函数性质；对二次函数对称轴的讨论是常规考题，应熟练掌握．