题目内容
17．
如图，已知直线l与抛物线y2=2px相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M（1，0）线段AB中点坐标（2，1）（1）求抛物线方程；
（2）求△AOB的面积．
分析 （1）利用点差法，结合点M（1，0）线段AB中点坐标（2，1），求出p，可得抛物线方程；
（2）直线AB方程x=y+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合S△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y1-y2|，求△AOB的面积．
解答 解：（1）y12=2px1 ①，y22=2px2②，
两式相减：y12-y22=2px1-2px2得（y1+y2）kAB=2p，代入解得p=1，…（5分）
∴抛物线方程y2=2x； …（6分）
（2）直线AB方程x=y+1，代入抛物线方程y2=2x得y2-2y-2=0①
y1、y2是此方程的两根，y1+y2=2，y1y2=-2，…（8分）
于是S△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y1-y2|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOB的面积为$\sqrt{3}$． …（12分）
点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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