题目内容
12．已知抛物线y2=ax（a＞0），经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．分析 依题意，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+$\frac{a}{4}$，利用抛物线的定义结合题意可求得a，从而可求得抛物线方程．
解答 
解：依题意，抛物线的焦点坐标为（$\frac{a}{4}$，0），则直线方程为y=-x+$\frac{a}{4}$．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+$\frac{a}{4}$+x2+$\frac{a}{4}$
即x1+$\frac{a}{4}$+x2+$\frac{a}{4}$=8．①
又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，
由直线与抛物线消去y，得x2-$\frac{3a}{2}$x+$\frac{{a}^{2}}{16}$=0，
∴x1+x2=$\frac{3a}{2}$．
将其代入①得a=4，
∴所求抛物线方程为y2=4x．
点评 本题考查抛物线的标准方程，突出抛物线定义的应用，考查方程组思想与化归思想的综合运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
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