Question

数列{a_n}中，a₁=2，

m

=(an+1，-1)，

n

=(an+1，-1)，又

m

⊥

n

，则a₂₀₀₉=（　　）

• A．2
• B．-

  1

  3

• C．-

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：先根据

m

⊥

n

，利用数量积为0建立等式，得到递推关系，求出a₂、a₃、a₄的值，可得到数列{a_n}是以3为周期的数列，再由2009=3×669+2可得到a₂₀₀₉=a₂求出答案．

解答：解：∵

m

=(an+1，-1)，

n

=(an+1，-1)，又

m

⊥

n

，
∴a_n+1•（a_n+1）+1=0即a_n+1=-

1

an+1

，
：∵a₁=2，a_n+1=-

1

an+1

，∴a₂=-

1

a1+1

=-

1

3

，a3=-

1

a2+1

=-

3

2

，a4=-

1

a3+1

=2，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列
∵2009=3×669+2
a₂₀₀₉=a2=-

1

3

故选B．

点评：本题主要考查数列递推关系的应用和数列周期的应用，同时考查了向量垂直和数量积的关系，属于中档题．