Question

【题目】设函数，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；

（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；

（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；

解：（Ⅰ）由题意可知，，

在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，

由可得，，令，

则，令，

可得，当时，，

所以在上单调递减，且

当时，单调递增；

当时，单调递减；

所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，

要使在有两个根，则，

所以的取值范围为；

（Ⅱ）由题解得，，要证成立，

只需证：

即：，

只需证：

设，即证：

要证，只需证：

令，则

在上为增函数

，即成立；

要证，只需证明：

令，则

在上为减函数，，即成立

成立，所以成立.