Question

【题目】已知函数.

（1）若函数，试讨论的单调性；

（2）若，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；

（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.

解：（1）因为，

所以，

①当时，，在上单调递减.

②当时，令，则；令，则，

所以在单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，可知，

，

令，得.

设，则.

当时，，在上单调递增，

所以在上的值域是，即.

当时，没有实根，且，

在上单调递减，，符合题意.

当时，，

所以有唯一实根，

当时，，在上单调递增，，不符合题意.

综上，，即的取值范围为.