Question

【题目】已知函数，

（1）若时，求证：当时，；

（2）若函数有4个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）构造函数，只需证明在上的最小值大于0即可；

（2）函数有4个零点，则有4个单调区间，即其导函数有3个零点，令，则函数有2个零点，求得此时a的范围，再数形结合即可得到答案.

（1）当时，有，

令，即，

则

令，则，当时，，

所以在区间上是增函数，，

所以，在区间上是增函数，

所以，故.

（2）因为函数有4个零点，所以有4个单调区间，即其导函数有3个零点，显然是函数的一个零点，

令，则函数有2个零点，故.

由于，令，得，

故，故.

又，，只需证明，

令，，则，

所以在上单调递增，，所以，即，

所以存在，使得，所以有3个零点，1，.

x				1
		0		0		0
	递减	极小	递增	极大	递减	极小	递增

所以要有4个零点，只需，即，

因为此时，，

，

设（），，所以在上

，

所以，即，又

，

综上，当且仅当时，函数有4个零点.