Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．
（Ⅰ）若F为PE的中点，求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，OE∥BF，再利用线面平行的判定定理，即可证得BF∥平面AEC；
（Ⅱ）证明CD⊥平面PAD，从而三棱锥P-AEC的体积转化为求三棱锥C-AEP的体积，即三棱锥C-PAD的体积．

解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接OE，
∵E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PE的中点
∴E为DF中点，OE∥BF      （5分）    
又∵BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC     （6分）
（Ⅱ）解：∵侧棱PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，（9分）
又AD=2AB=2PA=2，
∴三棱锥P-AEC的体积为VP-AEC=VC-AEP=

1

3

CD•S△PAE=

1

3

CD•

2

3

S△PAD=

2

9

×1×

1

2

×1×2=

2

9

（12分）

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确运用转换底面法求体积．