Question

（本小题满分16分）如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和的中点，已知（为常数），平面上的点满。

（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。

Answer 1

⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆． ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为．………（5分）
⑵若点在曲线上，则．设，，则，．…………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上．
………………………………（10分）
⑶由题意．………………………………………………………………（11分）
设，则．┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以．代入的方程得．┈┈┈②
联立①②，解得，．…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为．……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）

略