Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x∈[-

π

3

，

2π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]⇒sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，从而可求得函数f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+（1+cos2x）
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴f（x）的最小周期T=

2π

2

=π；
由题意得由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-1，

5

2

]，
∴f（x）_max=

5

2

，f（x）_min=-1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查三角函数的周期性及其求法及正弦函数的单调性与最值，属于中档题．