Question

已知以下4个命题：
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
②若p：?x∈R，x²-3x-2＜0，则￢q：?x∈R，x²-3x-2≥0；
③设a，b∈R，则a＞b是（a-1）|a|＞（b-1）|b|成立的充分不必要条件；
④若关于实数x的不等式|1-2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是（-∞，5]．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：运用复合命题的真假和真值表，即可判断①；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断②；
由充分必要条件的定义和特殊值比如a=

1

2

，b=

1

4

，即可判断③；对x讨论，x=0．x≠0，运用分离参数，结合绝对值不等式的性质，求得最小值，即可判断④．

解答： 解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q不一定为真命题，则①错误；
对于②，若p：?x∈R，x²-3x-2＜0，则￢q：?x∈R，x²-3x-2≥0，则②正确；
对于③，设a，b∈R，当a＞b，比如a=

1

2

，b=

1

4

，则（a-1）|a|=-

1

4

，（b-1）|b|=-

3

16

，
推出（a-1）|a|＜（b-1）|b|，则③错误；
对于④，若关于实数x的不等式|1-2x|+|1+3x|＜a|x|无解，当x=0，2＜0无解，成立；
当x≠0时，即有a＞|

1

x

-2|+|

1

x

+3|，由|

1

x

-2|+|

1

x

+3|≥|（

1

x

+3）-（

1

x

-2）|=5，
当a≤5时，不等式|1-2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则④正确．
综上可得，②④正确．
故选：B．

点评：本题考查简易逻辑的基础知识，主要考查复合命题的真假和命题的否定及充分必要条件的判断，同时考查不等式的性质和绝对值不等式的基本性质，属于基础题和易错题．