Question

已知函数f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
（1）若函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；
（3）记g（x）=|f′（  x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．
（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，根据题意f′（x）=0应有根x=1，可得一个关系式，再借助极值建立等量关系，解二元一次方程组即可，应注意导数为0是取极值的必要不充分条件．
（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．
（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．

解答：解：（1）解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．…（2分）
若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，f'（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），
直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1 c=3

为所求．…（4分）
（2）由（1）y=f(x)+m=-

1

3

x3-x2+3x-3+m，y极小值=m-12，y极大值=m-

4

3

，…（6分）
当y_极小值=m-12＞0，或y极大值=m-

4

3

＜0，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点．…（8分）
因此，实数m的取值范围是m＞12或m＜

4

3

．…（9分）
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，
则f'（x）在[-1，1]是单调函数，M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因为f'（1）与f'（-1）之差的绝对值|f'（1）-f'（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）
若|b|≤1，f'（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|，|f'（b）|}，f'（b）-f'（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），M=max{|f′(1)|，|f′(b)|}≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），M=max{|f'（-1）|，|f'（b）|}≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|f′(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．…（13分）
所以，k的取值范围是(-∞，

1

2

]．…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，通过极值求解系数，，考查利用导数求函数的最值，从而解决恒成立问题，属于中档题．