Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），若|

.

BA

+

.

BF

|=|

.

BA

-

.

BF

|，则该双曲线离心率e的值为

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：通过|

.

BA

+

.

BF

|=|

.

BA

-

.

BF

|，判断三角形ABF的关系，利用三角形的关系，得到a，b，c的关系，结合双曲线a，b，c关系求出双曲线的离心率即可．

解答：解：因为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），
|

.

BA

+

.

BF

|=|

.

BA

-

.

BF

|，所以AB⊥BF，三角形ABF是直角三角形，
所以|AB|²+|BF|²=|AF|²．
即：c²+b²+c²=（a+c）²．
∵b²=c²-a²．
∴3c²-a²=（a+c）²．
∴c²-a²-ac=0，
e²-e-1=0，
解得：e=

1+ 5

2

．e=

1- 5

2

（舍去）．
故答案为：

1+ 5

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，能够通过向量的模推出三角形的形状是解题的关键，考查计算能力．