Question

已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x²上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.

（1）求直线的方程.

（2）设的面积为S₁，求及S₁的值.

（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S₂，求证S₁:S₂的值为与a无关的常数.

Answer 1

（1）的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2  (2) = 2²+4+2=2（+1）²

∴S₁=   (3) S₁:S₂的值为与无关的常数，这常数是

解析:

（1）由当x=1时，y＇=-4                   ……………2分

   ∴的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2                     ……………………3分

(2)得B点坐标为（）                     ……………………4分

由得D点坐标（,-4-2）             ……………………5分

点A 到直线BD的距离为                    ………………………………6分

= 2²+4+2=2（+1）²

∴S₁=                                      ………………………………7分

(3)当>-1时，S₁=（+1）³，                ………………………………………8分

                                        

                                     

                                      …………………………………………9分

…………………………………………10分

∴S₁:S₂=          ………………………………………………………………………11分

当<-1时，S₁= -（+1）³           ……………………………………………………12

    ……………………………………………13分

∴S₁:S₂=

综上可知S₁:S₂的值为与无关的常数，这常数是       …………………………………14分