Question

如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：直线MN∥平面PBC；

（2）求线段MN的长.

Answer 1

（1）证明略（2）7

解析:

（1）连接AN并延长交BC于Q，

连接PQ，如图所示.

∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，

∴===，

又∵==，

∴==，∴MN∥PQ，

又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，

∴MN∥平面PBC.

（2）解  在等边△PBC中，∠PBC=60°，

在△PBQ中由余弦定理知

PQ²=PB²+BQ²-2PB·BQcos∠PBQ

=13²+-2×13××=，

∴PQ=，

∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，

∴MN=×=7.