Question

如图所示，正四棱锥P-ABCD中，侧面与底面成60°角，O为AC、BD的交点．

第18题图

(1)求二面角O-PB-A的大小；

(2)若E为PB的中点，试在侧面PAD上寻找一点F，使EF⊥侧面PBC，并确定F点的位置．

Answer 1

答案：解法一：(1)在平面PAB内过A点作AB⊥PB，连HC，如图所示a由题设易知△PBA≌△PBC，∴CH⊥PB，

第18题图

∴∠AHC即为A-PB-C的平面角．

而由正四棱锥的性质知∠AHC即为所求角的二倍．

取BC的中点M，连PM及OM，则∠PMO=60°，

∴PO=OM

令底面边长为a，∴PO=，∴PB=a，

∴CH=，AC=，∴cos∠AHC=

记二面角O-PB-A的平面角为α，∴cosα=

∴二面角O-PB-A的大小为arccos．

(2)F在AD上，且.

取AD的中点N，连PN、NM，易知△PNM为正三角形，

而BC⊥平面PMN

∴平面PBC⊥平面PMN．

取PM的中点K，则NK⊥PM，由面面垂直的性质定理知NK⊥平面PBC，又取AN的中点F，连FE，EK．

∴EKBM=AN=AF，∴四边形FEKN为平行四边形，∴FE∥NK，∴FE⊥平面PBC，故FE即为所求，从而F点在AD上，且．

解法二：连OP，取BC的中点M，连OM、PM，则PM⊥BC，OM⊥BC，∴∠PMO=60°

如图b所示建立直角坐标系O-xyz，设正四棱锥底面边长为a，则PO=．

第18题图

∴P(0，0，)，B(，，0)，A(，，0)

=(0，0，)，=(，，0)

设平面OPB的法向量n₁=(x、y、z)，则解得

令x=1，∴y=-1，z=0，∴n₁=(1，-1，0)

同理可求平面PAB的法向量n₂=(，0，1)

∴cos＜n₁，n₂＞=，

∴二面角O-PB-A的大小为arccos．

(2)在(1)的坐标系中，C(,0),D(,0),E(a),

∴=(-a,0,0),=(),,=(-a,0,0),

设

=(-aλ，0，0)+()

=,

∴F

∵EF⊥平面PBC，

∴

∴

∴，即，∴F在线段AD上，且.