Question

．如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．

(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)取AD中点M，连接MO，PM，

依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，

则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角．

∵ PO⊥面ABCD，

∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝．

设AB＝a，AO＝a，

∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，

tan∠PMO＝＝．

∴∠PMO＝60°．

(2)连接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．

∵OE＝PD＝＝a，

∴tan∠AEO＝＝．

(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN．

∴平面PMN⊥平面PBC．

又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．

取AM中点F，∵EG∥MF，∴MF＝MA＝EG，∴EF∥MG．

∴EF⊥平面PBC．点F为AD的四等分点．