题目内容
在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO=λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α1，α2，α3，α4，则下列各式为常数的是
①cotα1+cotα2
②cotα1+cotα3
③cotα2+cotα3
④cotα2+cotα4
- A.①②
- B.②④
- C.②③
- D.③④
B
分析：过O点作MN⊥BC，根据二面角的定义易得∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，根据余切函数的定义及SO=λa，λ为常数，易得到答案．
解答：
解：过O点作MN⊥BC，则BC⊥AD
则OM，ON分别为BM，BN在底面ABCD上的射影
则∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，
∴∠SMO=α1，∠SNO=α3，
故cotα1=
，cotα3=
则cotα1+cotα3=+=
=
=
即cotα1+cotα3为定值
同理可得cotα2+cotα4为定值
故选B
点评：本题以余切函数的定义为载体考查了二面角的定义，其中根据二面角的定义求出二面角的平面角是解答的关键．
分析：过O点作MN⊥BC，根据二面角的定义易得∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，根据余切函数的定义及SO=λa，λ为常数，易得到答案．
解答：
解：过O点作MN⊥BC，则BC⊥AD则OM，ON分别为BM，BN在底面ABCD上的射影
则∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，
∴∠SMO=α1，∠SNO=α3，
故cotα1=
，cotα3=则cotα1+cotα3=
+===即cotα1+cotα3为定值
同理可得cotα2+cotα4为定值
故选B
点评：本题以余切函数的定义为载体考查了二面角的定义，其中根据二面角的定义求出二面角的平面角是解答的关键．
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