Question

如图所示，在四棱锥S-ABCD中，BA⊥面SAD，CD⊥面SAD，SA⊥SD，且SA=SD=DC=2AB．O为AD中点．
（1）求证：SO⊥BC；
（2）求直线SO与面SBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中BA⊥面SAD，由面面垂直的判断定理可得面ABCD⊥面SAD，由等腰三角形三线合一，可得SO⊥AD，结合面面垂直的性质定理可得SO⊥面ABCD，最后由线面垂直的性质定理得到SO⊥BC；
（2）过O作OE⊥BC于E，连SE，由三垂线定理，及线面夹角的定义，我们可得直角△SOE中，∠OSE为所求SO与面SBC所成的角，解直角△SOE，即可得到答案．

解答：证明：（1）∵BA⊥面SAD，CD⊥面SAD
∴BA∥CD
∴面ABCD⊥面SAD（3分）
又SA=SD，O为AD中点，
∴SO⊥AD
∴SO⊥面ABCD
故SO⊥BC（5分）
解：（2）过O作OE⊥BC于E，连SE，则由三垂线定理，BC⊥SE．∴BC⊥面SOE
∴面SBC⊥面SOE，从而SE就是SO在面SBC上的射影    
在直角△SOE中，∠OSE为所求SO与面SBC所成的角．                    （8分）
设AB=a，延长CB交DA延长线于F，则DA=2SO=2

2

a，DF=4

2

a，从而FC=6a．
∴由

OE

OF

=

DC

FC

得：OE=

2a

6a

•3

2

a=

2

a（10分）
∴tan∠OSE=

OE

SO

=1．即∠OSE=45°（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是构造出∠OSE为所求SO与面SBC所成的角．