Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，BC=3SA=3AB=3AD．
（1）求CD和SB所成角大小；
（2）已知点G在BC边上，①若G点与B点重合，求二面角S-DB-A的大小；
②若BG：GC=2：1，求二面角S-DG-A的大小．

Answer 1

分析：（1）设SA=AB=AD=1，则BC=3．以A为原点，AB、AD、AS分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），S（0，0，1），C（1，3，0）．由向量法能求出CD和SB所成角的大小．
（2）设SA=AB=AD=1，则BC=3．①若G点与B点重合，△ABD是等腰直角三角形，取BD的中点E₁，连接SE₁，那么AE₁=

1

2

，由此能求出二面角S-DB-A的大小．②若BG：GC=2：1，则∠BGD=45°，作AE₂⊥DG，连接SE₂，则△ADE₂是以E₂为直角顶点的等腰直角三角形，AE₂=

1

2

，由此能求出二面角S-DG-A的大小．

解答：解：（1）设SA=AB=AD=1，则BC=3．
以A为原点，AB、AD、AS分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），S（0，0，1），C（1，3，0）．
∵

SB

=(1，0，-1)，

DC

=(1，2，0)．
∴cos?

SB

，

DC

＞=

1

5 • 2

=

10

10

．
∴CD和SB所成角的大小为arccos

10

10

．
（2）设SA=AB=AD=1，则BC=3．
①若G点与B点重合，△ABD是等腰直角三角形，
取BD的中点E₁，连接SE₁，那么AE₁=

1

2

，
∵AB=AD，BD的中点是E₁，
∴AE₁⊥BD，
∵SA⊥底面ABCD，
∴SE₁⊥BD，
∴∠SE₁A是二面角S-DB-A的平面角．
在Rt△SAE₁中，tan∠SE₁A=

2

，
所以二面角S-DB-A的大小为arctan

2

．
②若BG：GC=2：1，则∠BGD=45°，
作AE₂⊥DG，连接SE₂，
∵SA⊥底面ABCD，
∴SE₂⊥DG，
∴∠SE₂A是二面角S-DG-A的平面角．
∵△ADE₂是以E₂为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AE₂=

1

2

，
在Rt△SAE₂中，tan∠SE₂A=

2

，
所以二面角S-DG-A的大小为arctan

2

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法和计算二面角的大小，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．