如图.O.P.Q三地有直道相通.OP=3千米.PQ=4千米.OQ=5千米.现甲.乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地.经过t小时.他们之间的距离为f．甲的路线是OQ.速度为5千米/小时.乙的路线是OPQ.速度为8千米/小时.乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地.t=t2时乙到达Q地．(1)求t1与f(t1)的值,(2)已知警员的对讲机的有效通话� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t₁时乙到达P地，t=t₂时乙到达Q地．
（1）求t₁与f（t₁）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t₁≤t≤t₂时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t₁，t₂]上的最大值是否超过3？说明理由．

分析（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t₁=$\frac{3}{8}$，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t₁）；
（2）求出t₂=$\frac{7}{8}$，设t$∈[\frac{3}{8}，\frac{7}{8}]$，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos$∠OQP=\frac{4}{5}$，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．

解答解：（1）根据条件知${t}_{1}=\frac{3}{8}$，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=$5×\frac{3}{8}=\frac{15}{8}$；
∴在△OAP中由余弦定理得，f（t₁）=AP=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}-2OA•OP•cos∠AOP}$=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}+9-\frac{45}{4}•\frac{3}{5}}=\frac{3\sqrt{41}}{8}$（千米）；
（2）可以求得${t}_{2}=\frac{7}{8}$，设t小时后，且$\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}$，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：
则BQ=5-5t，CQ=7-8t；
∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC=$\sqrt{（5-5t）^{2}+（7-8t）^{2}-2（5-5t）（7-8t）•\frac{4}{5}}$=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$；
即f（t）=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$，$\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}$；
设g（t）=25t²-42t+18，$\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}$，g（t）的对称轴为t=$\frac{21}{25}$$∈[\frac{3}{8}，\frac{7}{8}]$；
且$g（\frac{3}{8}）=\frac{369}{64}，g（\frac{7}{8}）=\frac{25}{64}$；
即g（t）的最大值为$\frac{369}{64}$，则此时f（t）取最大值$\frac{3\sqrt{41}}{8}＜3$；
即f（t）在[t₁，t₂]上的最大值不超过3．

点评考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．

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16．

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，底面A₁B₁C₁D₁是边长为a的正方形，侧棱AA₁的长为b，E为侧棱BB₁上的动点（包括端点），则（　　）

	A．	对任意的a，b，存在点E，使得B₁D⊥EC₁
	B．	当且仅当a=b时，存在点E，使得B₁D⊥EC₁
	C．	当且仅当a≤b时，存在点E，使得B₁D⊥EC₁
	D．	当且仅当a≥b时，存在点E，使得B₁D⊥EC₁