Question

给出下列命题：
（1）若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

；
（2）对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面；
（3）“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“曲线C的方程是f（x，y）=0”的必要条件；
（4）（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

与

c

垂直．
写出以上命题为真命题的序号______．

Answer 1

对于（1），若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

；如果

a

=

0

，

a

•

b

=

a

•

c

，但是

b

=

c

也可能

b

≠

c

，∴（1）不正确；
对于（2），对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴（2）不正确．
对于（3）方程的曲线和曲线的方程是这样定义的：①曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，
②以方程f（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上．则方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线．
（3）“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“曲线C的方程是f（x，y）=0”的必要条件；判断正确；
对于（4），（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

与

c

垂直．∵[（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

]•

c

=

c

•

b

）

a

•

c

-（

a

•

c

）

b

•

c

=0，
∴（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

与

c

垂直，正确．
故答案为：（3）（4）．