Question

19．若cos（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin2α＞0，则tan2α等于（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{4\sqrt{2}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{7}$

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式、二倍角公式求得cos[α-$\frac{π}{2}$]的值，可得sinα，从而求得cosα、tanα 的值，进而利用二倍角公式求得tan2α的值．

解答 解：∵cos（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴cos[α-$\frac{π}{2}$]=2${cos}^{2}（\frac{α}{2}-\frac{π}{4}）$-1=2×$\frac{1}{3}$-1=-$\frac{1}{3}$，
即sinα=-$\frac{1}{3}$．
又sin2α=2sinαcosα＞0，故cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{2}$，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故tan2α=$\frac{2tanα}{{1-tan}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．