Question

（2013•合肥二模）已知函数f（x）=msinx+

2m-1

cosx
（I）若m=2，f（α）=

3

，求 cosα；
（II）若f（x）最小值为-

2

，求f（x）在[-π，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）由条件可得 2sinα+

3

cosα=

3

．再由 cos²α+sin²α=1，求得cosα 的值．
（II）若f（x）=msinx+

2m-1

cosx的 最小值为-

2

=-

m2+2m-1

，求得m的值，可得 f（x）=

2

sin（x+

π

4

）．再由 x∈[-π，

π

6

]，利用正弦函数的定义域
和值域求得函数f（x）的值域．

解答：解：（I）若m=2，f（α）=

3

，则由函数f（x）=msinx+

2m-1

cosx，可得 2sinα+

3

cosα=

3

．
再由 cos²α+sin²α=1，求得cosα=-

1

7

，或cosα=1．
（II）若f（x）=msinx+

2m-1

cosx的 最小值为-

2

=-

m2+2m-1

，∴m=1，或 m=-3（舍去）．
∴f（x）=msinx+

2m-1

cosx=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
∵x∈[-π，

π

6

]，可得 x+

π

4

∈[-

3π

4

，

5π

12

]．
又sin（

5π

12

）=sin（

π

4

+

π

6

）=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

，
故sin（x+

π

4

）∈[-1，

6 + 2

4

]，故函数f（x）的值域为[-

2

，

1+ 3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．