Question

（12分）（2008•崇文区一模）已知抛物线C：y=ax2，点P（1，﹣1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0．

（1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）若点M满足，求点M的轨迹方程．

 

Answer 1

（1）（0，﹣）．（2）：x=﹣1（y≤﹣1且y≠﹣5）．

【解析】

试题分析：（1）将P代入抛物线C的方程即可求得a，进而抛物线的方程可得．

（2）设直线PA的方程为y+1=k1（x﹣1），与抛物线方程联立消去y，得到关于x1的一元二次方程根据韦达定理求得x1与k1的关系，同样设直线PB的方程为y+1=k2（x﹣1）与抛物线方程联立消去y，进而可得x2与k2的关系，设点M的坐标为（x，y）根据向量的关系求得x=﹣1，得出M的轨迹．

【解析】
（1）将P（1，﹣1）代入抛物线C的方程y=ax2得a=﹣1，

∴抛物线C的方程为y=﹣x2，即x2=﹣y．

焦点坐标为F（0，﹣）．

（2）设直线PA的方程为y+1=k1（x﹣1），

联立方程消去y得x2+k1x﹣k1﹣1=0，

则1•x1=﹣k1﹣1，即x1=﹣k1﹣1．

由△=k12﹣4（﹣k1﹣1）=（k1+2）2＞0，得k1≠﹣2．

同理直线PB的方程为y+1=k2（x﹣1），

联立方程消去y得x2+k2x﹣k2﹣1=0，

则1•x2=﹣k2﹣1，即x2=﹣k2﹣1．且k2≠﹣2．

又∵k1+k2=0，∴k1≠2．

设点M的坐标为（x，y），由

又∵k1+k2=0，∴x=﹣1．

=﹣（k12+1）≤﹣1，

又k1≠±2，∴y≠﹣5．

∴所求M的轨迹方程为：x=﹣1（y≤﹣1且y≠﹣5）．