Question

如图为函数f（x）=（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：对函数求导可得，，根据导数的几何意义先写出过点M的切线方程为y-=，进而可得面积S
=，令g（t）=（0＜t＜1），要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，通过=研究函数函数g（t）在（0，1）上的单调性，结合函数的图象进行求解
解答：解：对函数求导可得，
由题意可得M（t，），切线的斜率k=
过点M的切线方程为y-=
则可得
l=l
令g（t）=（0＜t＜1）
=
函数g（t）在（）单调递增，在单调递减
由于，
△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点
，根据函数的图象可知

故答案为：
点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用：求切线方程；利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，解决本题的关键是构造函数g（t），通过研究该函数的性质，给出相应的函数的图象，从而进行求解