Question

如图为函数f（x）=

x

（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：对函数求导可得，f′(x)=

1

2 x

，根据导数的几何意义先写出过点M的切线方程为y-

t

=

1

2 t

(x-t)，进而可得面积S
=

t

-t+

t t

4

，令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1），要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，通过g′(t)=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

研究函数函数g（t）在（0，1）上的单调性，结合函数的图象进行求解

解答：解：对函数求导可得，f′(x)=

1

2 x

由题意可得M（t，

t

），切线的斜率k=f′(t)=

1

2 t

过点M的切线方程为y-

t

=

1

2 t

(x-t)
则可得P(0，

t

2

)    N(0，1)   Q(2

t

-t，1)
S△PNQ=

1

2

PN•NQ=

1

2

(2

t

-t)(1-

t

2

)l=

t

-t+

t t

4

l
令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1）
g′(t)=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

函数g（t）在（0，

4

，9

）单调递增，在[

4

9

，1)单调递减
由于g(1)=

1

4

，g(

4

9

)=

8

27

△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点
，根据函数的图象可知

1

4

＜b＜

8

27

故答案为：(

1

4

，

8

27

)

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用：求切线方程；利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，解决本题的关键是构造函数g（t），通过研究该函数的性质，给出相应的函数的图象，从而进行求解