Question

16．若x²≥2^x，则x的取值范围是（-∞，x₁]∪[2，4]（x₁在区间（-1，-$\frac{3}{4}$）之间）．

Answer 1

分析 画出函数y=x²，y=2^x的图象，数形结合得到两函数在y轴右侧两交点的横坐标，运用二分法求出两函数在y轴左侧交点的横坐标的近似值x₁的范围，结合图象求得满足x²≥
2^x的x的取值范围．

解答 解：画出函数y=x²，y=2^x的图象如图，

由图可知，两函数图象有三个交点，y轴右侧两交点的横坐标分别为x₂=2，x₃=4，
下面运用二分法求y轴左侧两函数图象交点的横坐标的近似值x₁．
令f（x）=x²-2^x．
∵f（0）=-1＜0，f（-1）=$\frac{1}{2}＞0$，
f（$-\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}-{2}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}-$$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜0，
f（-$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}-{2}^{-\frac{3}{4}}$=$\frac{9}{16}-\frac{1}{\root{4}{8}}$=$\frac{1}{\root{4}{（\frac{16}{9}）^{4}}}-\frac{1}{\root{4}{8}}$＜0．
∴x₁在区间（-1，-$\frac{3}{4}$）之间．
由图可知，满足x²≥2^x的x的取值范围是（-∞，x₁]∪[2，4]．
故答案为：（-∞，x₁]∪[2，4]．

点评 本题考查函数零点个数的判断，考查了运用二分法求方程的近似解，属中档题．