Question

7．设S为非空数集，且满足：①2∉s；②若a∈S，则$\frac{1}{2-a}$∈S．证明：
（1）对一切n∈N^*，n≥3，有$\frac{n}{n-1}$∉S；
（2）S或者是单元素集，或者是无限集．

Answer 1

分析 （1）可考虑用反证法证明，假设存在一个$\frac{n}{n-1}∈S$，这样根据条件②即可得到$\frac{n-1}{n-2}∈S$，以此类推出$\frac{2}{1}∈S$，这便和已知的2∉S矛盾，这便说明假设错误，从而得出结论；
（2）首先会发现S={1}为符合条件的单元素集，若S为有限集，从而有非1的元素a，根据②便得到$\frac{1}{2-a}，\frac{2-a}{3-a}，\frac{3-2a}{4-3a}$都属于S，根据数学归纳法即可得到$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}∈S$，并且利用反证法即可说明$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}$，i∈N，两两不等，这便说明S有无限个元素，最后即得出要证的结论．

解答 证明：（1）若有一个$\frac{n}{n-1}∈S$，则：
由②得，$\frac{1}{2-\frac{n}{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}∈S$；
从而递推出$\frac{n-2}{n-3}∈S，…，\frac{2}{1}∈S$，与2∉S矛盾；
∴对一切n∈N^*，n≥3，有$\frac{n}{n-1}∉S$；
（2）显然S={1}为符合条件的单元素集，若S为有限集，则有非1元素a，所以：
$\frac{1}{2-a}∈S$，∴由②可继续导出：$\frac{2-a}{3-a}，\frac{3-2a}{4-3a}$都属于S；
∴由数学归纳法即可得出$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}∈S$，i∈N；
利用a≠1，反证易知$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}$两两不等；
∴此时S有无穷元素；
∴S或者是单元素集，或者是无限集．

点评 考查元素与集合的概念及关系，反证法在证明题中的运用，掌握反证法的过程，掌握递推的思想，以及数学归纳法的定义与步骤．