Question

已知a为常数，函数f（x）=ln（

1+x2

+x）+ax．
（1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数；
（2）若a＜0，试求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）先证明函数的定义域为R，再利用导数运算法则计算函数的导函数f′（x），最后由已知a≥0证明f′（x）＞0即可得证
（2）由（1）可知函数的导函数，通过解不等式f′（x）＜0即可的函数的单调区间，但由于此不等式中含参数，故需对参数a的范围进行讨论

解答：解：（1）证明∵

1+x2

＞|x|，∴函数定义域为R
∵f′（x）=

( 1+x2 +x)′

1+x2 +x

+a=

( 1+x2 )′+1

1+x2 +x

+a=

x 1+x2 +1

1+x2 +x

+a=

1

1+x2

+a
∵a≥0，∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在其定义域R内是增函数
（2）解：∵f′（x）=

1

1+x2

+a  且a＜0
∴f′（x）＜0?x2＞

1-a2

a2

①当a≤-1时，f′（x）≤0恒成立且不恒等于零，故函数的单调减区间为（-∞，+∞）
②当-1＜a＜0时，原函数的单调减区间为（-∞，

1-a2

a

），（-

1-a2

a

，+∞）

点评：本题考察了导数的四则运算法则，复合函数求导方法，证明函数单调性和求函数单调区间的方法