Question

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则下列结论中正确的是

①②③

（把你认为真命题的序号都写上）
①0＜a＜

1

2

；  ②0＜x₁＜1＜x₂；   ③f（x₁）＜0；   ④f(x2)＜-

1

2

．

Answer 1

分析：依题意，f′（x）=lnx-2ax+1=0在（0，+∞）上有二异根，即y=lnx与y=2ax-1在（0，+∞）上有两个交点，作图后对①②③④四个选项逐一分析即可确定答案．

解答：解：∵函数f（x）=x（lnx-ax），
∴f′（x）=lnx-ax+x（

1

x

-a）=lnx-2ax+1，
∵f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴f′（x）=lnx-2ax+1=0在（0，+∞）上有二异根，
∴y=lnx与y=2ax-1在（0，+∞）上有两个交点．
在同一直角坐标系中，作出y=lnx与y=2ax-1的图象：

设y=lnx与y=2ax-1相切于（x₀，y₀），由于y=2ax-1过定点P（0，-1），
∴直线y=2ax-1的斜率k=（lnx）′|x=x0=

1

x0

=

y0-(-1)

x0-0

=2a，
∴y₀+1=1，y₀=0，又y₀=lnx₀=0，
∴x₀=1，即y=lnx与y=2ax-1相切于（1，0），
∴2a=

1

x0

=1，
∴a=

1

2

．
当0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时，y=lnx与y=2ax-1在（0，+∞）上有两个交点，f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，故①正确；
由图可知，0＜x₁＜1＜x₂即②正确；
对于③，∵0＜x₁＜1，
∴lnx₁＜0，又0＜a＜

1

2

，故-ax₁＜0，
∴f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）＜0，即③正确．
由于x₂是极值点，故lnx₂=2ax₂-1，
∴f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）=ax22-x₂=a(x2-

1

2a

)2-

1

4a

，
∵0＜a＜

1

2

，
∴

1

a

＞2，

1

4a

＞

1

2

，-

1

4a

＜-

1

2

，a(x2-

1

2a

)2≥0，
∴f（x₂）＜a(x2-

1

2a

)2-

1

2

，故④错误．
综上所述，正确的是①②③
故答案为：①②③．

点评：本题考查导数的综合应用，着重考查数形结合思想与等价转化思想、抽象思维与逻辑思维的综合应用，属于难题．