Question

（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）（　　）

• A．f(x1)＞0，f(x2)＞-

  1

  2

• B．f(x1)＜0，f(x2)＜-

  1

  2

• C．f(x1)＞0，f(x2)＜-

  1

  2

• D．f(x1)＜0，f(x2)＞-

  1

  2

Answer 1

分析：先求出f^′（x），令f^′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．

解答：解：∵f′(x)=lnx-ax+x(

1

x

-a)=lnx+1-2ax，（x＞0）
令f^′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
g′(x)=

1

x

-2a=

1-2ax

x

．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f^′（x）单调递增，因此g（x）=f^′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g^′（x）=0，解得x=

1

2a

，
∵x∈(0，

1

2a

)，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈(

1

2a

，+∞)时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=

1

2a

是函数g（x）的极大值点，则g(

1

2a

)＞0，即ln

1

2a

+1-1=-ln(2a)＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

．
∵0＜x1＜

1

2a

＜x2，f^′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f^′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）＜

1

2a

(

1

2a

×a-1)=-

1

2a

＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞1×(a×

1

2a

-1)=-

1

2

．（

1

2a

＞1）．
故选D．

点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．