Question

【题目】已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若过点（1,0）的直线与曲线交于不同两点．

①当时，求直线的方程；

②试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① 或；②存在，点，.

【解析】

试题分析：（1）本问考查求轨迹方程的直接法，即根据题中已知条件，转化为关于定点的坐标表示，首先设点，，，根据中点坐标公式有，，再根据两点间距离公式表示出线段的长度，于是可以整理得到关于点的方程，即为所求轨迹；（2）①本问主要考查直线与圆相交，有关弦长问题，可以根据垂径定理进行求解，注意对直线的斜率是否存在进行讨论；②本问主要考查解析几何中直线与圆的问题，首先假设存在点使得为定值，把直线方程与圆的方程联立，消去未知数，得到关于的一元二次方程，设点，，表示出，的值，然后将用坐标表示出来，得到关于的表达式，若为定值，则分母应为分子的倍数，可以采用待定系数法求解.

试题解析：（1）设点，，，则，，

又根据题意①，②，且，

所以由①②得：，所以，即，

所以动点的轨迹的方程为：；

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经计算，此时，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设方程为，圆心到直线的距离，

根据垂径定理有：，

解得，所以，

所以直线的方程为或；

②假设存在点使得为定值，

当直线的斜率存在时，设方程为，

由消去得:,

易知成立，设点，，则，，

若为定值，则必有，解得，点，

所以，

当直线斜率不存在时，方程为，此时，，此时，

综上所述，当点时，为定值.