Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

Answer 1

 (1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.

(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.

由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝ (n∈N*)．

下面用数学归纳法证明这个结论．

①当n＝1时，结论成立．

②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，

Sk＋1＝＝＝.

即当n＝k＋1时结论成立．

由①②知Sn＝对任意的正整数n都成立．