Question

已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点.

（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）设， （）.

易知斜率存在，设为，则方程为.

由得，  ……………  ①

由直线与抛物线相切，知.

于是，，方程为.

同理，方程为.

联立、方程可得点坐标为 ，

∵  ，方程为，

过抛物线的焦点.

∴  .

∴  .   

设（），，

由知，，当且仅当时等号成立.

∴  .

设，则.

∴  时，；时，.在区间上为减函数；

在区间上为增函数.

∴  时，取最小值.

∴  当，，

即，时，面积取最小值.    …………  13分