Question

【题目】已知圆，直线．

（1）当时，直线被圆截得的弦长为__________；

（2）若在圆上存在一点，在直线上存在一点，使得的中点恰为坐标原点，则实数的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】； .

【解析】

（1）由题可知，写出圆的圆心和半径以及时的直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式，求出直线被圆截得的弦长；

（2）设直线关于原点对称的直线为，根据对称的性质求出直线的方程，由直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离小于等于，进而可得出实数的取值范围.

解：（1）圆，可知圆心为，半径为，

当时，直线，

则圆心到直线的距离为：，

所以直线被圆截得的弦长为：；

（2）设直线关于原点对称的直线为，

设直线上任意一点，则在直线上，

即，即直线的方程为：，

依题意，直线与圆有交点，

则，解得：或，

所以实数的取值范围是：.

故答案为：；.