Question

13．已知幂函数$f（x）=（{n^2}-2n+2）•{x^{{m^2}-2m-3}}$（m∈N，m≥2）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，则f（x）=x^-3．

Answer 1

分析 根据幂函数的定义求出n的值，再根据f（x）的单调性求出m的值，即得f（x）的解析式．

解答 解：∴幂函数$f（x）=（{n^2}-2n+2）•{x^{{m^2}-2m-3}}$（m∈N，m≥2）为奇函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-2n+2=1}\\{{m}^{2}-2m-3为奇数}\end{array}\right.$，
解得n=1；
又f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$在（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3，又m∈N，m≥2
∴m=2；
∴f（x）=x^-3．
故选：x^-3．

点评 不同考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．