Question

（本小题满分12分）已知函数，
（Ⅰ） 若a =1，求函数的图像在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）如果当且时，恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，增区间为；
当时，增区间为，增区间为；
（Ⅲ）。

试题分析：由题，
（Ⅰ）当 a =1时，，，
函数的图像在点处的切线方程为；
（Ⅱ）设
①当时，故增区间为；
若设设两根分别为，
② 当时，，所以增区间为；
③当时，，所以增区间为，增区间为；
综上，当时，增区间为；
当时，增区间为，增区间为；
（Ⅲ）可化为，设由（Ⅱ）可知：
①若有，由单调性，对，此时，，
同理，对，此时，，
所以符合题意；
②若有，可知则对，此时，，
不符合题意；
综上，符合题意的。
点评：①我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。②利用导数求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域。