Question

【题目】已知函数f（x）=nx﹣xn ， x∈R，其中n∈N ， 且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1 ， x2 ， 求证：|x2﹣x1|＜ +2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x）=n﹣nxn﹣1=n（1﹣xn﹣1），其中n∈N，且n≥2．

下面分两种情况讨论：

⑴当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	（﹣1，1）	（1，+∞）
f′（x）	﹣	+	﹣
f（x）

所以，f（x）在 （﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．

⑵当n为偶数时，

当 f′（x）＞0，即x＜1时，函数 f（x）单调递增；

当 f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x）单调递减；

所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n ，f′（x0）=n﹣n2，

曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），

令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．

由于f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，

又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，

所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，

所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，

即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．

（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，

由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），

设方程g（x）=a的根为 ，可得 = ，

由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（ ），可得x2≤ ．

类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），

可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0，

即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），

设方程h（x）=a的根为 ，可得 = ，

因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（ ）=a=f（x1）＜h（x1），

因此 ＜x1，

由此可得：x2﹣x1＜ ﹣ = ，

因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+ =1+n﹣1=n，

故：2 =x0．

所以：|x2﹣x1|＜ +2．

【解析】（1）对函数进行求导，对导函数中的参数进行分类讨论，分n为奇数和偶数，得出函数的单调性；（2）设P点的坐标为,可求得，,可求,.由于在上单调递减，可得出在内单调递增，在上单调递减，结论得证；（3）设,方程g（x）=a的根为，根据第二问可得，设曲线在原点出的切线方程为,可得,设h（x）=a的根为,可得从而可得：，由即,推得：，结论得证.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．