题目内容
【题目】设函数 
，
（1）求证： 
；
（2）当x≥1时，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）证明：要证明 
，即 
，
∵x＞0，∴也就是要证明lnx≤x﹣1，即lnx﹣x+1≤0，
下面证明lnx﹣x+1≤0恒成立，
令g（x）=lnx﹣x+1， 
，令g'（x）=0，得x=1，
可知：g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）≤g（1）=ln1﹣1+1=0，
则 ；
（2）解：当x≥1时，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立， 
，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，
令h（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），h'（x）=lnx+1﹣2ax，
令H（x）=lnx+1﹣2ax，∴ 
，
①当a≤0时，H'（x）＞0恒成立，
∴H（x）在[1，+∞）上递增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1﹣2a＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上递增，
∴h（x）≥h（1）=0，
∴a≤0不符合题意；
②当 
时， 
，
当 
时，H'（x）＞0，H（x）递增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1﹣2a＞0，
从而h（x）在 
上递增，
∴h（x）≥h（1）=0，
∴ 不符合题意；
③当 
时， 
，H'（x）＜0恒成立，
∴H（x）在[1，+∞）上递减，h'（x）=H（x）≤H（1）=1﹣2a＜0，
∴h（x）在[1，+∞）上递减，
∴h（x）≤h（1）=0，
∴ 符合题意．
综上所述：a的取值范围是 
．
【解析】（1）要证明 f ( x ) ≤ 1 
,只需要证明lnx≤x﹣1，构造函数g（x）=lnx﹣x+1，通过求导不难证明g（x）≤g（1）=0，结论得证；（2）当x≥1时，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，构造函数h（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），通过求导后分情况讨论①a≤0时，②0 < a < 
，③a≥三个情况可得出a的取值范围.
