Question

如图，为相距的两个工厂，以的中点为圆心，半径为画圆弧。为圆弧上两点，且 ，在圆弧上一点处建一座学校。学校受工厂 的噪音影响度与 的平方成反比，比例系数为1，学校受工厂的噪音影响度与 的平方成反比，比例系数为。学校受两工厂的噪音影响度之和为 ，且设 。

（1）求 ，并求其定义域；

（2）当为多少时，总噪音影响度最小？

                                                            

Answer 1

 解：（Ⅰ）连接OP，设则，……….1分
在△AOP中，由余弦定理得，
在△BOP中，由余弦定理得，…………4分
∴，则，…………….6分
∵，则，∴，∴，
∴。………………………………8分
（Ⅱ）令，
∴，…………………………..10分
由，得或t=-10（舍去），………………..12分
当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增；……………………
∴当时，即时，函数有最小值，也即当AP为（km）时，“总噪音影响度”最小．……………………………………………………………14分