Question

2．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M、N分别是CD、BB₁的中点，点P是棱B₁C₁上的动点，给出下列结论：
①异面直线C₁M与AN所成的正弦值为$\frac{3}{5}$
②平面MC₁P⊥平面AD₁N
③点A₁到平面MC₁P的距离等于$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a
其中正确的有①（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 对3个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①如图，建立空间直角坐标，则A（a，0，0），N（a，a，$\frac{1}{2}$a），M（0，$\frac{1}{2}$a，0），C₁（0，a，a）
∴$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（0，-$\frac{1}{2}$a，-a），$\overrightarrow{AN}$=（0，a，$\frac{1}{2}$a）
∴cos＜$\overrightarrow{{C}_{1}M}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{-{a}^{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}a•\frac{\sqrt{5}}{2}a}$=-$\frac{4}{5}$
∴异面直线C₁M与AN所成角的正弦值为$\frac{3}{5}$，正确；
②设平面AD₁N的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，a），$\overrightarrow{AN}$=（-a，$\frac{1}{2}$a，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-ax+az=0}\\{-ax+\frac{1}{2}ay=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}$=（1，2，1），
同理平面MC₁P的法向量为$\overrightarrow{n}$=（4，2，-1），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4+4-1=7，∴平面MC₁P⊥平面AD₁N，不正确；
③设点A₁到平面MC₁P的距离等于h，${S}_{△M{C}_{1}P}$=$\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}a$=$\frac{\sqrt{5}}{8}$a²，${S}_{△{A}_{1}{C}_{1}P}$=$\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•a$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{5}}{8}{a}^{2}h=\frac{1}{3}•\frac{{a}^{2}}{4}•a$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a．故不正确．
故答案为：①

点评 本题考查异面直线C₁M与AN所成角的正弦值，平面与平面垂直，考查点到平面的距离，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．