Question

19．求函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+2}$在区间[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 先化简，再求导，得到函数f（x）的单调性，即可求出最值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+2}$=$\frac{{x}^{2}+x+2+x+1}{{x}^{2}+x+2}$=1+$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x+2-（x+1）（2x+1）}{（{x}^{2}+x+2）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+1}{（{x}^{2}+x+2）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，
当f′（x）＞0时，即x∈[0，$\sqrt{2}$-1），函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x∈[$\sqrt{2}$-1，+∞），函数单调递减，
∴f（x）_max=f（$\sqrt{2}$-1）=1+$\frac{\sqrt{2}-1+1}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-1+1）+2}$=1+$\frac{2\sqrt{2}+1}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}+7}{6}$

点评 本题考查了利用导数和函数最值得关系，关键是判断函数的单调性，属于中档题．