题目内容

19．已知：
（1）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OB}$=（7，12），$\overrightarrow{OC}$=（9，16）．求证：A，B，C三点共线；
（2）设$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），若点A，B，C能构成三角形，求实数k所满足的条件．

分析 （1）由题意和向量的运算可得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$坐标，由向量平行可得；
（2）可得$\overrightarrow{AB}$=（4-k，-7），$\overrightarrow{AC}$=（10-k，k-12），当A，B，C三点共线时有（4-k）（k-12）=-7（10-k），解得k值，取反面可得构成三角形的条件．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OB}$=（7，12），$\overrightarrow{OC}$=（9，16），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（4，8），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=（6，12）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴向量$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$共线，又两向量有公共点A，
∴A，B，C三点共线；
（2）∵$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（4-k，-7），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=（10-k，k-12），
∴当A，B，C三点共线时有（4-k）（k-12）=-7（10-k），
解得k=-2或k=11，故当点A，B，C能构成三角形时k≠-2且k≠11．

点评 本题考查平行向量和共线向量，涉及三点共线和构成三角形的条件，属基础题．

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