Question

10．已知O、A、M、B为平面上四点，且$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OA}$（λ∈R，λ≠1，λ≠0）．
（1）求证：A、B、M三点共线；
（2）若点B在线段AM上，求实数λ的范围．

Answer 1

分析 （1）可对等式$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$的两边同时减向量$\overrightarrow{OB}$，然后根据向量减法的几何意义即可得出$\overrightarrow{BM}=（1-λ）\overrightarrow{AB}$，这便说明$\overrightarrow{BM}$和$\overrightarrow{AB}$共线，从而得出A、B、M三点共线；
（2）根据向量数乘的几何意义，当点B在线段AB上时，应有0＜1-λ＜1，这样即得到实数λ的范围．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$得：
$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}=（λ-1）\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$=$（λ-1）（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{BM}=（λ-1）\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{AB}$；
∴A，B，M三点共线；
（2）如图，B在线段AM上，则：

由$\overrightarrow{BM}=（λ-1）\overrightarrow{AB}$及B点在线段AM上得：0≤λ-1≤1；
∴1≤λ≤2，又λ≠1；
∴实数λ的范围为（1，2]．

点评 考查向量减法的几何意义，向量数乘的几何意义，以及共线向量基本定理．