Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上． 
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=0，求

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用双曲线的离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上，建立方程，结合c²=a²+b²，即可求得双曲线的方程；
（Ⅱ）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-

1

k

x，分别与双曲线方程联立，计算

1

|OP|2

、

1

|OQ|2

，即可求得

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值．

解答：解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上
∴

c

a

=2，

5

a2

-

3

b2

=1 
∵c²=a²+b²
∴a²=4，b²=12
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1 ；
（Ⅱ）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-

1

k

x
y=kx代入双曲线方程，可得

x2

4

-

(kx)2

12

=1 ，∴x2=

12

3-k2

，
∴y2=

12k2

3-k2

∴

1

|OP|2

=

1

x2+y2

=

3-k2

12(1+k2)

同理，

1

|OQ|2

=

3k2-1

12(1+k2)

∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

6

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．