Question

如图，在平面直角坐标系中．锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果tan α=，B点的横坐标为求cos（α+β）的值；
（2）若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的正弦线分别为MA，NB，PC，求证：线段MA，NB，PC能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说
明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的定义可求sinα，cosα，再利用两角和的余弦公式可求cos（α+β）
（2）要证明MA，NB，PC能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可
（3）设线段MA，NB，PC构成的三角形为△A′B′C′，利用余弦定理求出cosAA′，从而求出sinA′，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断
解答：解：（1）∵tan且α为锐角
∴sinα=，cos
∵B点的横坐标为
由三角函数的定义可知，cosβ=，sin
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
==
证明：（2）由（1）可得MA=sinα=，NB=sin，PC=sin（α+β）=
∵MA+NB＞PC，PC+NB＞MA，MA+PC＞NB
∴线段MA，NB，PC能构成一个三角形
（3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：
设（2）中的三角形为△A′B′C′中，角A′，B′C′所对的边长为sinα，sinβ，sin（α+β）
由余弦定理可得，cosA′=
=-cosαcosβ
=
=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos（α+β）
∵α，β
∴α+β∈（0，π）
∴sinA‘=sin（α+β）
设外接圆的半径为r，则由正弦定理可得2R===1
∴R=
∴外接圆的面积S=
点评：本题主要考查了三角函数的定义、和差角公式、正弦定理等知识在求解三角形中的应，解题中要注意公式的灵活应用